Exercices d’application

1. Montrer que si est transitive alors et sont transitives. Réciproque?

2. Paradoxe de Condorcet et règle majoritaire.

On considère n individus en nombre impair, et un ensemble de décisions A (ayant plus de 3 éléments). On suppose pour simplifier que chacun des individus possède une préférence stricte sur A. On considère la procédure suivante :

On dit que a est préféré collectivement à b si une majorité stricte d’individus préfère a à b.

a)Montrer que cette procédure vérifie le principe d’unanimité,

b)Montrer que cette procédure vérifie le principe d’indépendance,

c)Montrer que cette procédure n’est pas dictatoriale (!).

Devez vous conclure que le théorème d’Arrow est faux? Pourquoi?

3. Procédure « de Pareto »

On considère la procédure suivante :

,

a)Montrer que cette procédure satisfait les principes d’unanimité et d’indépendance.

b)Montrer que est transitive.

Devez-vous conclure que le théorème d’Arrow est faux? Pourquoi?

2. Dictateurs en chaîne.

Montrer que les procédures qui vérifient l’unanimité et l’indépendance sont en fait des procédures de dictateurs en chaîne :

un premier dictateur impose ses préférences strictes,

le cas échéant, un second dictateur classe ensuite les options pour lesquelles le premier est indifférent,

et ainsi de suite.